LİMİT TEST ÇÖZÜMLERİ

12. sınıflar matematik dersi. Limit kavramı, limit özellikleri, parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların limiti, limitlerde sonsuzluk ve belirsizlik ile ilgili testin çözümleri.

Çözüm – 1 

Polinom şeklindeki fonksiyonların x = a nokasındaki limitleri f(a) ile bulunur.

f(x) = 3x² – 4x + 9

= 3.2² – 4.2 + 9

= 13

Doğru Cevap E seçeneği.

Çözüm – 2 

f(x) = 4x² – 5, x < 2 ise

f(x) = 3x + 5, x≥ 2 ise

f(x) fonksiyonunun kritik noktası 2’dir. Fonksiyon x’in 2’den büyük veya küçük oluşuna göre 2 şekilde tanımlanmaktadır.

Bu tip fonksiyonları çözerken sağdan ve soldan yaklaşımın limitlerini ayrı ayrı hesaplamamız gerekir.

x’e soldan yaklaştığımızda 4x² – 5 fonksiyonunu kullanırız.

Lim_x→2-  (4x² – 5) = 4.2² – 5

Lim_x→2-  (4x² – 5) = 11

x’e sağdan yaklaştığımızda 3x + 5 fonksiyonunu kullanırız.

Lim_x→2+ = 3x + 5 = 3.2 + 5 = 11

Sağ ve sol limitler eşit olduğundan f(x) fonksiyonunun x →2 için limiti 11’dir.

Doğru Cevap C seçeneği.

Çözüm – 3 

Seçenekleri inceleyelim

A) Lim_x→-6-  f(x) = 2

  Yeşil renkli parçayı soldan takip ederek x = -6 noktasına geldiğimizde y = 2 olmaktadır. A seçeneği doğrudur.

B) Lim_x→4+  f(x) = 2

Mavi renkli parçayı sağdan takip ederek x = 4 noktasına geldiğimizde y değeri 2 olmaktadır. B seçeneği doğrudur.

C) Lim_x→8  f(x) = 0

Mor renkli çizginin her iki ucundan x = 8 değerine doğru gelirsek y değeri 0 olmaktadır. C seçeneği doğrudur.

D) Lim_x→6  f(x) = -2

Mavi renkli çizgiyi ucundan takip ederek x = 6 noktasına gelirsek y değeri – 2 olmaktadır. Mor renkli çizgiyi ucundan takip ederek x = 6 noktasına gelirsek y = –4 olmaktadır. x = 6 noktası fonksiyon için bir kritik noktadır. Fonksiyon bu noktada sağdan ve soldan farklı biçimlerde tanımlanmıştır. Sağ limit, sol limite eşit olmadığından fonksiyonun bu noktada limiti yoktur. D seçeneği yanlıştır.

E) Lim_x→-6+ f(x) = 2

-6 noktasına sağdan yaklaşırken kırmızı çizgiyi takip ederiz. x = –6 olduğunda y = 2 olduğundan E seçeneği doğrudur.

Doğru cevap D seçeneği.

Çözüm – 4 

Şekildeki grafikle ilgili olarak;

I. Lim_x→–7 f(x) = 3

II. Lim_{x→ 4+} f(x) = 6

III. Lim_x→7 f(x) = –2

IV. Lim_x→4 f(x) = 6

I. ifade doğrudur. -7 noktası tek parça üzerinde tanımlıdır. Bu parçanın her iki ucundan x = -7 noktasına gelirsek y değeri 3 olmaktadır.

II. ifade yanlıştır. Lim_{x→ 4+}  f(x) = 3'tür.

III. ifade doğrudur. Sağ taraftaki grafik parçasının her iki ucundan x = 7 noktasına gelirsek = -2 olmaktadır.

IV. ifade yanlıştır. Bu noktada sağdan limit 3, soldan limit 6’dır. Sağ ve sol limitler farklı olduğundan fonksiyonun bu noktada limiti yoktur.

Doğru cevap C seçeneği.

Çözüm – 5 

x = 4 için 0/0 belirsizliği oluşmaktadır.

x² + x – 20 = (x - 4)(x + 5)

x² – 7x + 12 = (x – 3)(x – 4)

olduğundan;

Doğru cevap E seçeneği.

Çözüm – 6 

Fonksiyonu çarpanlarına ayıralım.

= x + 3

f(x) fonksiyonu x + 3 e eşittir.

lim_x→+∞  (x + 3) = ∞ + 3 = ∞ olur.

Doğru cevap B seçeneği.

Çözüm – 7 

∞/∞ belirsizliği oluşmaktadır.

Rasyonel ifade üzerinde bir dizi işlem yapalım.

Pay ve paydayı x² ye bölelim.

Doğru cevap C seçeneği.

Çözüm – 8 

Belirsizliği vardır.

Yukarıda herbir terimin ve terimlerin pay ve paydasındaki ifadelerin limit değeri aşağıda verilmiştir.

lim_x→∞  3x² = ∞

lim_x→∞ 1 = 1

Bu sonuçları yerine yazarsak limit aşağıdaki gibi olur.

= ∞

Doğru cevap A seçeneği.

Çözüm – 9 

∞/∞ belirsizliği vardır.

Rasyonel ifade üzerinde bir dizi düzenleme yapalım.

Yukarıda paydada x'in çarpan parantezindeki 1 ve 0'lar limit değerleridir. 

Bu ifadelerin limit değerleri de 0'a eşittir.

= 0 + 0

= 0

Doğru cevap C seçeneği.

Çözüm – 10 

f(x) = mx + 12, x < -2 ise

f(x) = 6 , x = -2 ise

f(x) = nx – 2, x > -2 ise

f(x) fonksiyonu x = 2 noktasında sürekli ise;

f(-2) Lim_x→-2 = f(-2) olmalıdır.

f(-2) = 6 olduğundan, sağ ve sol limitler 6'ya eşit olmalıdır.

lim_x→-2- mx + 12 = 6

lim_x→-2+ nx – 2 = 6 olmalıdır.

lim_x→-2- mx + 12 = 6 ise -2m + 12 = 6

-2m = -6

m = 3 olur.

lim_x→-2+ nx – 2 = 6 ise -2n – 2 = 6

-2n = 8

n = - 4 

m + n = - 1 olur.

Doğru cevap D seçeneği.

Çözüm – 11 

f(x) = x² + 1

g(x) = 4x – 2 

Olduğuna göre;

lim_x→3 5.f(x) + Lim_x→3 4.g(x)

İşlemini yapmanın pratik yolunu kullanalım.

lim_x→3 (x² + 1) = 10

lim_x→3 (4x – 2) = 10

lim_x→3 5.f(x) + Lim_x→3 4.g(x)

= 5. Lim_x→3 f(x) + 4. Lim_x→3 g(x)

= 5.10 + 4.10

= 90

Doğru cevap E seçeneği.

Çözüm – 12 

f(x) = x³ + 2x² – 5

g(x) = x² – 4x + 5

lim_x→3 f(x) = 27 + 18 – 5 = 40

lim_x→3 g(x) = 9 – 12 + 5 = 2

= 20

Doğru cevap D seçeneği.

Çözüm – 13 

Limitlerin mutlak değer özelliğinden;

lim_x→3 (|x – 4|) 

= |limx→3 (x – 4)|

Şimdi mutlak değer içine almadan Lim_x→3 f(x) değerini bulalım

Lim_x→3 (x – 4) = 3 – 4 = -1

Şimdi bulduğumuz değerin mutlak değerini alalım.

|lim_x→3 (x – 4)|= | - 1| = 1

Doğru cevap C seçeneği.

Çözüm – 14 

x yerine 2 koyarsak 0/0 belirsizliği oluşur.

İfadeyi çarpanlarına ayırırsak;

= x³ + 8 sonucunu elde ederiz. Bunu limit ifadesinde yerine koyarsak;

lim_x→2 (x³ + 8) = 8 + 8 = 16 buluruz.

Doğru cevap C seçeneği.

Çözüm – 15 

Bu ifadede x = 4 değerini yerine koyarsak 0/0 belirsizliği oluşur.

Rasyonel ifadenin pay ve paydasını 5 + √4x + 9  ile çarpalım.

Şimdi x yerine 4 değerini koyarsak;

= -5 bulunur.

Doğru cevap B seçeneği.

Test Soruları

Limit Konu Anlatımı

Süreklilik Konu Anlatımı

SANATSAL BİLGİ

27/10/2017