LİMİT ve GRAFİK

Matematik limit konusu. Limitleri grafik üzerinde gösterme. Fonksiyonun grafiğini çizme, limitini inceleme ve grafik üzerinde limit gösterme. Konu anlatımı.



Bir f(x) fonksiyonunun limitini grafik üzerinde gösterirken x → a için f(x) fonksiyonunun limiti grafik üzerinde işaretlenerek sağdan ve soldan yaklaşma gösterilir.

Grafikten yararlanarak limit bulma işleminde ise a değerine sağdan ve soldan yaklaşma incelenir ve a değerine gidilip gidilmediğine bakılır.

Eğer grafik verilmişse limit noktaları bulunarak örneklerde gösterildiği şekilde işaretlenir. Fonksiyon grafiğinin hem çizimi hem de limit gösterimi istenirse fanksiyona çeşitli değerler verilerek grafiğin geçtiği noktalar belirlenir ve birleştirilir.

ax + b Şeklindeki Fonksiyon Limitlerinin Grafiği

Örnek:

R → R f(x) = 8x -2 fonksiyonu veriliyor.

Bu fonksiyonun x = 2 noktasında limitinin olup olmadığını araştırınız ve limit varsa grafik üzerinde işaretleyiniz.


Çözüm:

limx→2 (8x - 2) = 8.2 - 2 = 14


Şimdi bu limiti f(x) fonksiyonunun grafiğini çizerek gösterelim.

f(x) = 8x – 2 fonksiyonunun grafiğini çizmek için y = 8x – 2 ifadesinde x ve y’ye 0 değeri verilerek eksenleri kestiği bulunur. Daha sonra f(2) fonksiyonunun görüntüsü işaretlenir.

y = 0 için x = 1 / 4 dür.

x = 0 için y = - 2 dir.

grafik x eksenini x = 1 / 4 noktasında, y eksenini y = - 2 noktasında keser. 

x = 2 için f(2) = 14 dür. Bu noktada x ve y değerlerini işaretleriz.

Limit_GrafikleriS12I1


Ok işaretleri sağdan ve soldan yaklaşmada 14 sayısına gelindiğini gösterir. Çizgiyi takip ederek x = 2 sayısına doğru geldikçe y değeri 14 sayısına yaklaşmaktadır.

Bu grafiği aşağıdaki gibi de gösterebiliriz.

Limit_GrafikleriS12I2



Grafik bize x = 2 sayısına sağdan ve soldan yaklaştığımızda y değerinin 14 sayısına yaklaştığını gösteriyor. Bu şekilde limitlerin varlığı grafik üzerinden kolayca görülebilir.


ax2 + b Şeklindeki Fonksiyonların Limitinin Grafiği

Örnek:

f(x) = x2 +1 fonksiyonunun grafiğini çizerek x → 2 için limitini inceleyiniz. Limit var ise grafik üzerinde belirtiniz.


Çözüm:

x = 0 için y = 1, x = 2 ve x = - 2 için y = 5 olur.

Limit_GrafikleriS12I3



Bu fonksiyonun x → 2 için limitini bulalım.

Sağdan limit;

limx→2+ (x2 + 1 ) = 4 + 1 = 5

Soldan limit;

limx→2- (x2 + 1 ) = 4 + 1 = 5


Sağ ve sol limitler eşittir. Bu limitleri x sayısına 2’e yakın değerler vererek test edebilirsiniz. Ayrıca grafik üzerinde de bu limitin varlığı kolayca görülür. Bu yaklaşım grafik çizgisi üzerinden hareket edersek x = 2 değerine yaklaştıkça y değeri 5’e yaklaşmaktadır. Çizgiyi takip ederek x = 2 değerine sağdan yaklaştığımızda y değeri grafik üzerinden 5’ e doğru gelmektedir. x = 2 değerine soldan yaklaştığımızda y değeri yine 5 sayısına doğru yaklaşmaktadır. 

x2 + 1 fonksiyonunun grafiği ve limiti aşağıda gösterilmiştir.

Limit_GrafikleriS12I4


Grafikteki ok işaretleri sağdan ve soldan 5 sayısına gelindiğini gösterir. y = 5 değerine karşılık gelen x sayısı 2'dir. O halde y = x2 + 1 fonksiyonunun limiti 5'tir.



Parçalı Fonksiyonların Limitlerinin Grafiği

Örnek:

 f(x) = 2x + 3, x < 2 ise

 f(x) = 3x + 1, x ≥ 2 ise


R → R f(x) fonksiyonu yukarıdaki gibi tanımlanmıştır.

Bu fonksiyonun grafiğini çiziniz.

x → 2 için limitini araştırınız ve varsa grafik üzerinde işaretleyiniz.


Çözüm:

Fonksiyon grafiği 2 parçadan oluşuyor. 1. Parça x < 2 durumu için, 2 parça x ≥ 2 durumu için çizilir.

x < 2 durumu için grafiği çizelim. x < 2 için f(x) = 2x + 3 dür.

x = 0 için y = 3 olur. y = 0 için x = -3/2 olur.

x = 2 için y = 7 olur. Fonksiyon bu noktadan başlayacak. Birinci dereceden olduğundan grafik doğru biçiminde olacak, x < 2 koşulu olduğundan x(2, 7) noktası grafiğe dahil edilmeyecek.

x = - 4 için y = - 5 dir (Grafiğin geçeceği bir nokta)

         

   Limit_GrafikleriS12I5      


Şimdi x ≥ 2 durumunu çizelim. x ≥ 2 için f(x) = 3x + 1 dir.

x = 0 için y = 1, x ≥ 2 olduğundan grafik bu noktadan geçmez

y = 0 için x = - 1/3 dür. x ≥ 2 olduğundan grafik bu noktadan geçmez

x= 2 için y = 7 dir. Fonksiyon bu noktadan başlar. x, 2 noktasını da kapsadığından (2, 7) noktasını bu grafiğe dahil ederiz.

x = 3 için y = 10 olur (Grafiğin geçeceği bir nokta).

Limit_GrafikleriS12I3B



y = 3x + 1 fonksiyonunda x > 2 olacak şekilde bir x sayısı seçerek yavaş yavaş azaltırsak y değeri 7’ye yaklaşır.

y = 2x + 3 fonksiyonunda x < 2 olacak şekilde bir x sayısı seçerek yavaş yavaş artırırsak, y değeri 7’ye yaklaşır. Buradan;


limx→2+ (3x + 1) = 7

limx→2- (2x + 3) = 7


Olduğu anlaşılır. Sağ ve sol limitler eşit olduğundan;

limx→2 f(x) = 7

Limit_GrafikleriS12I6




Limit Kavramı



SANATSAL BİLGİ

27/09/2017

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI