LİMİTLERDE BELİRSİZLİK

12. sınıflar ve lys matematik konusu. 0/0 ve ∞/∞ belirsizlik durumları. 0 da ve sonsuzda limitler. Limitlerde sonsuzluk ve belirsizlik.



0/0 Belirsizliği

f(x) ve g(x) birer fonksiyon olmak üzere;

f(x)
g(x)



ifadesinde x yerine a konularak elde edilen;

f(a)
g(a)



değerinde pay ve payda 0 oluyorsa, yani;

f(a)
= 0 oluyorsa;
0
g(a)




Limx → a f(x)
g(x)




ifadesinde 0/0 belirsizliği vardır denir.

Bu belirsizliği ortadan kaldırmak için çarpanlarına ayırma yöntemi uygulanır.


Örnek:

Limx → 1 x2 – 1 limitinin değeri kaçtır?
x – 1




Çözüm:

Limx → 1x2 – 1
x – 1




=12 – 1
1 – 1




=0 belirsizliği vardır.
0




x2 – 1 = (x + 1).(x – 1) dir. Bu ifadeyi yerine koyalım.

Limx→1 x2 – 1
=(x + 1).(x – 1)
x – 1
x – 1




Limx→1x2 – 1= x + 1 = 1 + 1 
x – 1



= 2 bulunur.


Örnek:

Limx→2 x2 + 4x – 12
x2 – 2x




limitini hesaplayınız.


Çözüm:

Limx→2 x2 + 4x – 12
x2 – 2x




4 + 8 – 12 
= 0
0
4 – 4




= 0/0 belirsizliği vardır.

Pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım.

x2 + 4x – 12 = (x + 6)( x – 2)

x2 – 2x = x (x – 2)

Bu değerleri limit ifadesinde yerine koyalım.

Limx→2(x + 6)( x – 2)
x (x – 2)




= Limx→2 (x + 6)



Buna göre;

Limx→2(x + 6) 
= 2 + 6
2




= 4 olarak bulunur.



Örnek:

f(x) = x - 5 olduğuna göre;
4 - √x + 11 




limx→5⁡ f(x) 


Limitini hesaplayınız.


Çözüm:

limx→5x - 5
4 - √x + 11




= 5 - 5
= 0
0
4 - √5 + 11   





 0/0 belirsizliği vardır.

f(x) fonksiyonunun pay ve paydasını 4 + √x + 11  ile çarparak paydasını rasyonel hale getirelim.

( x-5)(4+ √x+11)
(4- √x+11)(4+ √x+11)




=( x-5)(4+ √x+11)
16 - (x + 11)



=( x-5)(4+ √x+11)
5-x




İfadenin paydasını aşağıdaki gibi düzenleyerek pay ve paydadaki (x – 5) terimlerini sadeleştirebiliriz.

=( x-5)(4+ √x+11)
-(x - 5)




= - (4+ √x+11)

Şimdi f(x) fonksiyonu yukarıdaki şekle gelmiş olur. Bu yeni ifade başlangıçtaki ifadeye eşittir.

limx→5 -(4 +√ x + 11) = - 8


∞/∞ Belirsizliği


Pay ve paydasında polinom şeklinde fonksiyonlar bulunan ifadelerin x → ± ∞ için pay ve paydaları ± ∞ olur.

Bu durumda pay ve paydada eşit dereceli terimler varsa rasyonel ifadenin limiti bu eşit dereceli terimlerin katsayılarının oranı olur.


Örnek:

f(x) = 3x2 + 2x + 1
7x2 + 3x + 5




fonksiyonu veriliyor.

Bu fonksiyonun x → ∞ için limitini hesaplayınız.


Çözüm:

limx→∞3x2 + 2x + 1
7x2 + 3x + 5




= 3∞2+2∞+1
7∞2+3∞+5




= ( ∞)/∞ belirsizliği vardır.


Şimdi pay ve payda üzerinde bazı oynamalar yaparak sadeleştirelim.

Pay ve paydayı x2 ile bölelim.

Limit_BelirsizlikS12R1


Şimdi pay ve paydada bulunan her terimi ayrı ayrı x2 ye bölelim.

Limit_BelirsizlikS12R2


Burada pay ve paydada yer alan her terimin ayrı ayrı limitini alarak işlem yapabiliyoruz.

Limit_BelirsizlikS12R4


Paydaki limitler;


limx→∞ 3=3

lim⁡x→∞  2/x = 0

lim⁡x→∞  1/x2 = 0


Paydadaki limitler ise;

limx→∞ 7=7

lim⁡x→∞  3/x = 0

lim⁡x→∞  5/x2 = 0


Buna göre;

Limit_BelirsizlikS12R5


= 3 olur.
7




Burada pay ve paydadaki polinomların en büyük dereceli terimlerinin aynı olduğuna ve limitin de bu terimlerin katsayıları oranına eşit olduğuna dikkat ediniz.

Peki pay ve paydada en büyük dereceli terimlerin derecesi eşit değilse limit nasıl hesaplanır.

Aşağıda buna ilişkin bir örnek yer almaktadır.

Örnek:

f(x) = 3x2 + 25 fonksiyonu veriliyor.
x3




Bu fonksiyonun x → ∞ için limitini bulunuz.


Çözüm:


limx→∞ = 3x2 + 25
=
x




Şimdi bu belirsizliği ortadan kaldırmak için f(x) üzerinde bir takım işlemler yapalım.


3x2 + 25
= 3
+25
x2
x
x3




Şeklinde iki rasyonel ifadenin toplamı şeklinde yazılabilir. Bu eşitliğin limitini alırken her terimin ayrı ayrı limitini alabiliriz.   


limx→∞3x2 + 25 
x3




= limx→∞3
+ limx→∞ 25
x3
  
x



= 0 + 0

= 0 olur.

Burada x, - yönde de sonsuza gitse sonuç değişmez. 

Buradan x → ∞ için verilen bir rasyonel ifadenin paydasının derecesi payının derecesinden büyükse bu ifadenin limiti 0’dır şeklinde genelleme yapabiliriz.

Peki rasyonel ifadenin payının derecesi paydasının derecesinden büyük olursa fonksiyonun limiti ne olur. Bununla ilgili örneği de verelim.


Örnek:

f(x) =3x3 + 6x  fonksiyonu veriliyor.
x2 - 4




Bu fonksiyonun x → ∞ için limitini bulunuz.


Çözüm:

limx→∞3x3 + 6x 
=
x2 - 4




Fonksiyonun pay ve paydasında bir takım düzenlemeler yapalım.

3x3 + 6x
x2 - 4



Limit_BelirsizlikS12R7


1. terimde pay ve paydadaki x2 ler sadeleşir. 2. Terimde pay ve paydadaki x ler sadeleşir.

Limit_BelirsizlikS12R8


Pay ve paydadaki her terimin ayrı ayrı limitini alabiliriz.

Limit_BelirsizlikS12R9


=  
+6
∞(1 - 0)
1 - 0




= ∞ + 0

= ∞

Burada x – yönden sonsuza gitseydi sonuç - ∞ olacaktı.


Buraya kadar verdiğimiz özellikleri birleştirirsek;

Limit_BelirsizlikS12R10


ise;

1. n < m durumu;

limx→∞ f(x)=0


2. m < n durumu

limx→∞ f(x)=+∞ veya-∞




3. m = n durumu

limx→∞ f(x)=an
bm




Yukarıda bu şartların herbiri için örnekler verilmiştir.


Limit Özellikleri

Limitlerde Belirsizlik




SANATSAL BİLGİ

08/10/2017

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI