LİMİTLERDE SONSUZLUK

12. sınıflar ve lys matematik konusu. f(x) fonksiyonunda limitin sonsuz olması durumu. X sonsuza giderken f(x) fonksiyonunun limiti. Konu anlatımı.




Rasyonel bir ifadenin paydasını 0 yapmadan 0’a yaklaştıran x =a değeri için bu rasyonel ifadenin limiti sonsuz olur.

Örnek:

R –{3} → R 

f(x) = 5 
x - 3




fonksiyonu veriliyor.

Bu fonksiyonun x → 3 için limitini bulunuz.


Çözüm:

f(x) fonksiyonu x = 3 dışındaki sayılar için geçerlidir. x = 3 olamaz çünkü bu durumda fonksiyon tanımsız olur.

Bu durumda biz 3 sayısına sağdan ve soldan yaklaşarak f(x) = y değerinin hangi sayıya yaklaştığını bulacağız.

3 sayısına soldan yaklaşalım.

x = 2 için;

f(x) = 5 = -5
2 - 3




x = 2,5 için;

f(x) = 5   = -10
2,5 - 3



x = 2,8 için;

f(x) = -25

x = 2,99 için;

f(x) = - 500

x = 2,9999 için;

f(x) = -50000

.

.

3 sayısına sağdan yaklaşalım.


x = 4 için;

f(x) = 5

x = 3,5 için;

 f(x) = 10

x = 3,2 için;

f(x) = 25

x = 3,0001 için;

f(x) = 50000


Görüldüğü gibi x değişkeni 3’e eşitlenmeden 3 sayısına yaklaştıkça y değeri sınırsız büyümektedir. 3 sayısına soldan yaklaştığımızda f(x) = y değeri sayı doğrusunda negatif büyümekte, 3 sayısına sağdan yaklaştığımızda f(x) = y değeri sayı doğrusunda pozitif yönde sınırsız olarak artmaktadır. Bu durumda f(x) fonksiyonunun limiti;

LimitSonsuz_S12I1


Bu limitlerin açıklaması x değişkeni 3 sayısına sağdan yaklaşırken f(x) fonksiyonunun limiti + yönde sonsuzdur. x değişkeni 3 sayısına soldan yaklaştığında f(x) fonksiyonunun limiti – yönde sonsuzdur.

Yine yukarıdaki örneklerde sağ ve sol limitler eşit olmadığından f(x) fonksiyonunun x →3 için limiti yoktur.

Limitlerde sonsuzluk kavramı bu şekilde tanımlanır. f(x) fonksiyonu her ne şekilde tanımlanmış olursa olsun, y değeri sonsuza gidiyorsa bu fonksiyonunun limiti sonsuz olur.


Örnek:

R –{4} → R 

f(x) = x + 3
4 - x



fonksiyonu veriliyor.

f(x) fonksiyonunun x → 4 için limitini bulunuz.


Çözüm:

Bu fonksiyonda x yerine 4 yazarsak payda 0 olur ve fonksiyon tanımsız olur.

Ancak 4’e çok yakın değerler verebiliriz, bu durumda f(x) = y değeri sonsuza gidecektir.

y = x + 3
4 - x



değerinden x’e 4’ten büyük değerler verirsek y değeri negatif, x’e 4’ten küçük değerler verirsek y değeri pozitif olacaktır. O halde 4 sayısına sağdan yaklaşırken limit negatif sonsuz, soldan yaklaşırken limit pozitif sonsuz olur.

Sağdan limit.

LimitSonsuz_S12I2


= 4+ + 3
4 - 4+




= - 7
0+



= - ∞


Soldan limit;

LimitSonsuz_S12I3 

= 4- + 3
4 - 4-



= 7
0-



= +∞


Benzer şekilde y = 1/x limitinin de x = 0 için sonsuza gittiği gösterilebilir.


Burada limit değerinin sınırsız büyümesi önemlidir. Bu mantığı sorulara uygulayarak her çeşit problemi çözebilirsiniz.


x = ∞ daki Limitler

x değeri paydayı sıfıra yaklaştırırken f(x) değerinin sınırsız büyümesini sağlıyordu. Peki x’e sonsuz değerini verirsek ne olur. Bu durumda payda sınırsız bir şekilde büyür. Paydanın sınırsız büyümesi f(x) fonksiyonunu 0’a götürür.


Örnek:

y = 1
3 + 2x




fonksiyonunu ele alalım.

x değerini sonsuz seçersek payda sonsuz bir biçimde büyüyecek ve y değeri 0’a yaklaşacaktır. İşte rasyonel bir ifadenin paydasında x varsa ve x sonsuza yaklaşıyorsa bu ifadenin limiti 0 olur.

Limitin negatif yönde sonsuza gitmesi rasyonel ifadeyi negatif yapacağından limit – yönde sonsuz olur.

LimitSonsuz_S12I4


= 1



= 0 dır.

LimitSonsuz_S12I5


= 1
-∞



= 0


Burada x sonsuza yaklaşırken f(x) fonksiyonunun limiti vardır ve 0’dır.



Örnek:

y = 2x + 1 fonksiyonu veriliyor.

Bu fonksiyonun x → ∞ için limitini bulunuz.

Çözüm:

limx→+∞ (2x+1)=2.∞+1


= ∞


limx→-∞⁡ (2x+1)=2.( -∞)+1

= - ∞


Bu tarz problemleri çözerken x’e verilen değere göre f(x) limitinin hangi sayıya yaklaştığını görmek önemlidir. Eğer f(x) = y değeri sınırsız büyüyorsa y = ∞ olur. Eğer f(x) = y değeri sınırsız küçülüyorsa y = 0 olur.



Limitlerde Belirsizlik


SANATSAL BİLGİ

24/10/2017

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI