LİMİTLERDE SÜREKLİLİK
12. Sınıflar ve lys matematik dersi, limitlerde süreklilik konusu. Bir fonksiyonun bir x = a noktasında sürekli olma şartları. Grafiklerde süreklilik inceleme. Konu anlatımı ve örnekler.
Bir fonksiyonun sürekli olup olmadığını sorgularken aşağıdaki 3 şartın sağlanıp sağlanmadığına bakılır.
1. f(x) fonksiyonu f(a) noktasında tanımlı olmalıdır. f(a) değeri reel sayılar kümesinin bir elemanı olmalıdır. (f(a) ϵ IR)
2. f(x) fonksiyonunun x = a noktasında limiti olmalıdır. Bir fonksiyonun x = a noktasında limitinin olması demek sağ ve sol limitlerinin mevcut ve birbirine eşit olması demektir.
Limx→a f(x) ϵ IR olmalıdır.
3. f(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki limiti f(a) değerine eşit olmalıdır.
Limx→a f(x) = f(a) olmalıdır.
Bir f(x) fonksiyonu yukarıdaki şartları taşıyorsa bu fonksiyon x = a noktasında süreklidir denir.
x = a noktasında sürekli olmayan bir fonksiyona süreksiz fonksiyon denir.
Örnek:
x2 + 3x – 2 fonksiyonunun x = 3 noktasında sürekli olup olmadığını inceleyiniz.
Çözüm:
1.
f(3) = 32 + 3.3 -2 = 16
16 ϵ IR dir.
2.
Limx → 3 (x2 + 3x – 2) = 32 + 3.3 -2 = 16
Limx→3 (x2 + 3x – 2) ϵ IR
f(x) fonksiyonunun x = 3 noktasında limiti vardır ve bu limit değeri reel sayılar kümesinin bir elemanıdır.
3.
Limx→3 (x2 + 3x – 2) = f(3) dür.
Fonksiyonun x = 3 noktasındaki limiti f(3) değerine eşittir.
Yukarıdaki 3 şart sağlandığından f(x) fonksiyonu x = 3 noktasında süreklidir.
Örnek:
R → R tanımlı f(x) fonksiyonu;
Şeklinde tanımlanmıştır.
Bu fonksiyonun x = 4 noktasında sürekli olup olmadığını araştırınız.
Çözüm:
1.
x ≥ 4 için f(x) fonksiyonu 3x – 1 şeklinde tanımlanmıştır.
f(4) = 3.4 – 1 = 11 dir.
11 ϵ R dir.
2.
Sol taraflı limit;
Limx→4- (f(x) = 2.4 + 6 = 14
Sağ taraflı Limit;
Limx→4+ f(x) = 3.4 – 1 = 11
Sağ ve sol limitler eşit olmadığından fonksiyon x = 4 noktasında sürekli değildir.
Örnek:
Şekildeki fonksiyonun x = 2 noktasındaki sürekliliğini araştırınız.
Çözüm:
Grafiği incelediğimizde f(x) fonksiyonunun f(a) değeri için tanımlı olmadığını görüyoruz.
Bir fonksiyonun herhangi bir a noktasında tanımlı olması için o fonksiyonda x yerine a konularak elde edilen değer reel sayılar kümesinin bir elemanı olmalıdır.
Yukarıda yer alan grafikte f(x) fonksiyonunun x = 2 noktasında limiti vardır ve 8’dir. Fakat f(2) tanımsız olduğundan fonksiyon x = 2 noktasında süreksizdir.
Örnek:
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun x = ( - 3) noktasındaki sürekliliğini araştırınız.
Çözüm:
F(x) fonksiyonu 2 parçadan oluşmaktadır ve x = - 3 noktası fonksiyonun kritik noktasıdır. Fonksiyon x = -3 noktasında tanımlıdır ve f( - 3) = 4’tür.
Fonksiyonun sağ taraflı limiti;
limx→-3+ f(x) = 2
Fonksiyonun sol taraflı limiti;
Limx→-3- f(x) = 4
Sağ ve sol taraflı limitler birbirine eşit olmadığından fonksiyon x = - 3 noktasında sürekli değildir.
Örnek:
Şekilde görülen y = f(x) fonksiyonunun x = 5 noktasındaki sürekliliğini araştırınız.
Çözüm:
f(x) fonksiyonu bu grafikte tek parçadan oluşmaktadır.
f(5) = 7 dir.
Sağ limit;
Limx→5+ f(x) = 7
Sol limit;
Limx→5- f(x) = 7
Limx→5+ f(x) = Limx→5- f(x) = f(5) = 7
Sağ ve sol limitler eşit ve bu limitler f(5) değerine eşit olduğundan fonksiyon x = 5 noktasında süreklidir.
Örnek:
R → R tanımlı
y = f(x) fonksiyonunun x = 3 noktasında sürekliliğini araştırınız.
Çözüm:
1.
f(3) = 7
f(x) fonksiyonu x = 3 noktasında tanımlıdır.
2.
Sol limit;
Limx→3- f(x) = 3x – 2 = 7
f(x) fonksiyonunun sol taraflı limiti vardır.
Sağ limit;
Limx→3+ f(x) = 6x – 11 = 7
f(x) fonksiyonunun sağ taraflı limiti vardır.
3.
f(x) fonksiyonunun sağ ve sol limitleri eşit olup x = 3 noktasında limiti vardır.
Limx→3 f(x) = 7
f(3) değeri ile x = 3 noktasındaki limiti eşittir.
Limx→3 f(x) = f(3) = 7
O halde bu fonksiyon x = 3 noktasında süreklidir.
Sürekliliğin Özellikleri
1. Polinom şeklindeki fonksiyonlar süreklidir.
2. f ve g fonksiyonlar a noktasında sürekli ise;
f + g, f – g, f.g ve f/g (g≠0) fonksiyonları da a noktasında süreklidir.
3. Tanım kümesinin her noktasında sürekli olan fonksiyonlara sürekli fonksiyon denir.
Limitlerde Sonsuzluk
SANATSAL BİLGİ
25/10/2017