LİMİTLERDE SÜREKLİLİK

12. Sınıflar ve lys matematik dersi, limitlerde süreklilik konusu. Bir fonksiyonun bir x = a noktasında sürekli olma şartları. Grafiklerde süreklilik inceleme. Konu anlatımı ve örnekler.



Bir fonksiyonun sürekli olup olmadığını sorgularken aşağıdaki 3 şartın sağlanıp sağlanmadığına bakılır.

1. f(x) fonksiyonu f(a) noktasında tanımlı olmalıdır. f(a) değeri reel sayılar kümesinin bir elemanı olmalıdır. (f(a) ϵ IR)

2. f(x) fonksiyonunun x = a noktasında limiti olmalıdır. Bir fonksiyonun x = a noktasında limitinin olması demek sağ ve sol limitlerinin mevcut ve birbirine eşit olması demektir.

Limx→a f(x) ϵ IR olmalıdır.

3. f(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki limiti f(a) değerine eşit olmalıdır.

Limx→a  f(x) = f(a) olmalıdır.


Bir f(x) fonksiyonu yukarıdaki şartları taşıyorsa bu fonksiyon x = a noktasında süreklidir denir.

x = a noktasında sürekli olmayan bir fonksiyona süreksiz fonksiyon denir.

Örnek:

x2 + 3x – 2 fonksiyonunun x = 3 noktasında sürekli olup olmadığını inceleyiniz.


Çözüm:

1. 

f(3) = 32 + 3.3 -2 = 16

16 ϵ IR dir.

2. 

Limx → 3 (x2 + 3x – 2) = 32 + 3.3 -2 = 16

Limx→3 (x2 + 3x – 2) ϵ IR

f(x) fonksiyonunun x = 3 noktasında limiti vardır ve bu limit değeri reel sayılar kümesinin bir elemanıdır.

3. 

Limx→3 (x2 + 3x – 2) = f(3) dür.

Fonksiyonun x = 3 noktasındaki limiti f(3) değerine eşittir.


Yukarıdaki 3 şart sağlandığından f(x) fonksiyonu x = 3 noktasında süreklidir.


Örnek:

R → R tanımlı f(x) fonksiyonu;

Sureklilik_S12I1


Şeklinde tanımlanmıştır.

Bu fonksiyonun x = 4 noktasında sürekli olup olmadığını araştırınız.


Çözüm:

1. 

x ≥ 4 için f(x) fonksiyonu 3x – 1 şeklinde tanımlanmıştır.

f(4) = 3.4 – 1 = 11 dir.

11 ϵ R dir.

2.

Sol taraflı limit;

Limx→4-  (f(x) = 2.4 + 6 = 14

Sağ taraflı Limit;

Limx→4+ f(x) = 3.4 – 1 = 11

Sağ ve sol limitler eşit olmadığından fonksiyon x = 4 noktasında sürekli değildir.


Örnek:

Sureklilik_S12I2


Şekildeki fonksiyonun x = 2 noktasındaki sürekliliğini araştırınız.


Çözüm:

Grafiği incelediğimizde f(x) fonksiyonunun f(a) değeri için tanımlı olmadığını görüyoruz.

Bir fonksiyonun herhangi bir a noktasında tanımlı olması için o fonksiyonda x yerine a konularak elde edilen değer reel sayılar kümesinin bir elemanı olmalıdır.

Yukarıda yer alan grafikte f(x) fonksiyonunun x = 2 noktasında limiti vardır ve 8’dir. Fakat f(2) tanımsız olduğundan fonksiyon x = 2 noktasında süreksizdir.

Örnek:

Sureklilik_S12I3


Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun x = ( - 3) noktasındaki sürekliliğini araştırınız.


Çözüm:

F(x) fonksiyonu 2 parçadan oluşmaktadır ve x = - 3 noktası fonksiyonun kritik noktasıdır. Fonksiyon x = -3 noktasında tanımlıdır ve f( - 3) = 4’tür.


Fonksiyonun sağ taraflı limiti;

limx→-3+ f(x) = 2

Fonksiyonun sol taraflı limiti;

Limx→-3- f(x) = 4


Sağ ve sol taraflı limitler birbirine eşit olmadığından fonksiyon x = - 3 noktasında sürekli değildir.


Örnek:

Sureklilik_S12I4


Şekilde görülen y = f(x) fonksiyonunun x = 5 noktasındaki sürekliliğini araştırınız.


Çözüm:

f(x) fonksiyonu bu grafikte tek parçadan oluşmaktadır.

f(5) = 7 dir.

Sağ limit;

Limx→5+ f(x) = 7

Sol limit;

Limx→5- f(x) = 7

Limx→5+ f(x) = Limx→5- f(x) = f(5) = 7

Sağ ve sol limitler eşit ve bu limitler f(5) değerine eşit olduğundan fonksiyon x = 5 noktasında süreklidir.


Örnek:

R → R tanımlı

Sureklilik_S12I5


y = f(x) fonksiyonunun x = 3 noktasında sürekliliğini araştırınız.


Çözüm:

1. 

f(3) = 7

f(x) fonksiyonu x = 3 noktasında tanımlıdır.


2.

Sol limit;

Limx→3- f(x) = 3x – 2 = 7

f(x) fonksiyonunun sol taraflı limiti vardır.


Sağ limit;

Limx→3+ f(x) = 6x – 11 = 7

f(x) fonksiyonunun sağ taraflı limiti vardır.

3.

f(x) fonksiyonunun sağ ve sol limitleri eşit olup x = 3 noktasında limiti vardır.

Limx→3 f(x) = 7

f(3) değeri ile x = 3 noktasındaki limiti eşittir.

Limx→3 f(x) = f(3) = 7

O halde bu fonksiyon x = 3 noktasında süreklidir.



Sürekliliğin Özellikleri

1. Polinom şeklindeki fonksiyonlar süreklidir.

2. f ve g fonksiyonlar a noktasında sürekli ise;

f + g, f – g, f.g ve f/g (g≠0) fonksiyonları da a noktasında süreklidir.

3. Tanım kümesinin her noktasında sürekli olan fonksiyonlara sürekli fonksiyon denir.


Limitlerde Sonsuzluk




SANATSAL BİLGİ

25/10/2017

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM

COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI