MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Ygs matematik konularından, mutlak değer içeren denklemlerin ve eşitsizliklerin özellikleri ve çözüm yöntemleri. Konu anlatımı ve çözümlü sorular.

Mutlak Değerli Denklemler

a sıfır veya sıfırdan büyük bir reel sayı olmak üzere

| f(x)| = a

Denkleminin çözüm kümesi için 2 durum söz konusudur.

1. f(x) = a

2. f(x) = -a

| f(x)| = a denkleminin çözüm kümesi bu iki çözüm kümesinin birleşimine eşittir.

Özellikler

1. |f(x)| = 0 ise f(x) =0 dır.

2. |f(x)| = a ise f(x) = a veya f(x) = -a (a ɛ R⁺ )

3. a ɛ R^-  ise çözüm kümesi boş küme(Φ) dir.

4. |f(x)| = |g(x)| ise f(x) = g(x) veya f(x) = -g(x) tir.

Örnek

| 2x – 4| = 26 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır.

Çözüm

Bu sorunun çözümü için iki durum söz konusudur.

1. | 2x – 4| > 0 durumu

2. | 2x – 4| < 0 durumu

1. durumda

2x -4 = 26

2x = 30

x = 15

Ç1 = {15}

2. durumda

4-2x = 26

-2x =22

x = -11

Ç2= {-11}

Ç1+Ç2 = 15-11 = 4 olur.

Örnek

| 6 + |5x – 7|| = 12 denklemini sağlayan x reel sayılarının toplamı kaçtır.

Çözüm

İlk mutlak değeri kaldırırsak önümüze 2 durum çıkacaktır.

1. Durum     

 6 + |5x – 7| = 12

|5x – 7| = 6

Bu mutlak değeri de kaldırırsak önümüze yine 2 durum çıkar.

1.a durumu

5x – 7 = 6

5x = 13

x = 13/5

Ç1 = {13/5}

1.b durumu

5x-7 = -6

5x = 1

x = 1/5

Ç2 = {1/5}

Şimdi başa dönelim ve 2. Duruma bakalım

2. durum

6 + |5x – 7| = - 12

|5x – 7| = -18

Hiçbir sayının mutlak değeri negatif olamayacağından 2. Durumda çözüm kümesi boş küme olur.

Ç3 = {Φ}

Ç = Ç1 + Ç2 + Ç3 =1/5 + 13 / 5 =14/5

Ç = 14/5

Mutlak Değerli Basit Eşitsizlikler

1. a pozitif bir reel sayı olmak üzere

| f(x) | < a ise -a < f(x) < a 

2. a negatif bir reel sayı ise

| f(x) | ≤ a ise Ç = {Φ} dir.

3. a pozitif bir reel sayı olmak üzere

|f(x)| > a ise f(x) > a veya f(x) < -a dır.

4. a ve b pozitif bir reel sayı olmak üzere

a < |f(x) | < b ise

a< f(x) < b veya -b< f(x) < -a dır.

5. | f(x)| < | g(x)| ise | f(x) |²  < | g(x) | ² 

6. | f(x) | < g(x) ise –g(x) < fx < g(x) tir.

Örnek

| 3x-4 | ≤ 2 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz.

Çözüm

| 3x-4 | ≤ 2 ise

Mutlak değeri kaldıralım

-2 ≤ 3x-4 ≤ 2

Eşitliğin her kısmına +4 ekleyelim

2 ≤ 3x ≤ 6

Eşitliğin her kısmını 3’e bölelim

2/3 ≤ x ≤ 2

Örnek

4 ≤ |2x + 6| <8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm

Bu eşitsizliğin çözümünde 2 durum söz konusudur.

1. durum

4 ≤ 2x + 6 < 8

-2 ≤ 2x < 2

-1 ≤ x < 1

Ç1 =[-1,1)

2. durum

-8 < 2x + 6 ≤ -4

-14 < 2x ≤ -10

-7 < x ≤ -5

Ç2 = (-7, -5]

Eşitsizliğin çözüm kümesi bu iki kümenin birleşimidir.

Ç = [-1,1) U (-7, -5]

SANATSAL BİLGİ

26/08/2016