ÖNERMELERDE NİCELEYİCİLER

9. sınıflar ve ygs matematik dersi. Önermelerde niceleyiciler konusu. Her ve bazı niceleyicileri. Her ve bazı niceleyicilerinin doğruluk değerleri. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.

Her ve Bazı Niceleyicileri

Her niceleyicisi tüm parça ve sayıları, bazı niceleyicisi en az bir tane parça veya sayıyı sembolize eder.

Her Niceleyicisi

Matematikte her niceleyicisi bir kümenin tüm elemanlarını ve bir bütünün tüm parçalarını ifade eder. Her niceleyicisi "∀" sembolü ile gösterilir.

∀ niceleyicisine evrensel niceleyici denir.

Örneğin, doğal sayılar kümesini ele alalım. Her doğal sayının 0 ve daha büyük sayılar olduğunu biliyoruz. Bunu her niceleyişi kullanarak matematik dili ile yazalım.

"∀ x ϵ N, x > 0"

Bunu "her doğal sayı 0’dan büyüktür" şeklinde okuruz.

Her niceleyicisinin kullanıldığı önermeler tüm durumlarda doğrulanabiliyorsa önermenin değeri 1, diğer durumlarda 0 olur.

Örnek:

"A" asal sayılar kümesini göstermek üzere,

P: " ∀ x ϵ A, x/2 = 2k, k ϵ N"

P önermesini sözel olarak ifade ediniz ve doğruluk değerini açıklayınız.

Çözüm:

P önermesinin açıklaması "her asal sayı bir çift sayıdır" şeklindedir.

Bir tane çift asal sayı vardır ve bu çift asal sayı 2’dir. Önerme eğer bazı asal sayılar çift sayıdır şeklinde olsaydı doğru olacaktı.

Ancak önerme tüm asal sayıların çift olduğunu ifade etmekte olduğundan yanlış bir önermedir.

P ≡ 0

Örnek:

P: "∀ x ϵ Z, x² + x > 0"

Önermesini sözel olarak ifade ediniz ve bu önermenin doğruluk değerini bulunuz.

Çözüm:

P önermesi "her tam sayının karesi ile kendisinin toplamı 0’dan büyüktür" şeklindedir.

Pozitif olsun negatif olsun tüm reel sayıların karesi 0’dan büyüktür. Ancak;

x = -1 alırsak;

( - 1)² + ( - 1) = 0 olur.

Bu nedenle x = -1 için bu önerme sağlanmaz. Önerme her niceleyicisi ile kurulduğundan doğruluk değeri 0’dır.

P ≡ 0

Örnek:

P: "∀ x ϵ Z⁺, 4x -1 > 0"

Önermesini sözel olarak ifade ediniz ve doğruluk değerini açıklayınız.

Çözüm:

P önermesinin açıklaması: "her pozitif tamsayının 4 katının bir eksiği 0’dan büyüktür" şeklindedir.

Pozitif tam sayılar 0’dan büyük tam sayılardır. 0’dan büyük her tam sayı için;

4x – 1 > 0 dır.

Dolayısıyla önerme doğru bir önermedir.

P ≡ 1

Bazı Niceleyicisi

En az bir varlığı belirten niceleyiciye bazı niceleyicisi denir ve "Ǝ" simgesiyle gösterilir.

Bazı niceleyicisine "varlıksal niceleyici" de denilir.

Bazı niceleyicisinin kullanıldığı önermeler en az bir durumda doğrulanabiliyorsa bu önermelerin doğruluk değeri 1 olur. 

Örnek:

P: "Ǝ x ϵ Z, x³ < 0"

Önermesinin sözel açıklamasını yapınız ve doğruluk değerini belirtiniz”

Çözüm:

P önermesinin açıklaması: "bazı tam sayıların küpü 0’dan küçüktür" şeklindedir.

0’dan küçük tam sayıların 3. kuvvetlerinin negatif olduğunu biliyoruz.

Öyleyse p önermesi doğru bir önermedir.

P ≡ 1

Örnek:

P: "Ǝ x ϵ R, x² – 5 =0"

P önermesinin sözel açıklamasını yapınız ve doğruluk değerini belirtiniz.

Çözüm:

P önermesinin açıklaması: "bazı reel sayıların karesinin 5 eksiği 0’a eşittir" şeklindedir.

Peki, bu önerme doğru mudur?

Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşim kümesi ile reel sayılar kümesi oluşuyordu. Dolayısıyla,

√5  bir reel sayıdır.

(√5 )² – 5 = 0 olduğundan, p önermesi doğru bir önerme olmaktadır.

P ≡ 1

Örnek:

P: "Ǝ x ϵ N, x + 1 <0"

Önermesini sözel olarak ifade ediniz ve doğruluk değerini açıklayınız.

Çözüm:

P önermesinin açıklaması: "bazı doğal sayıların 1 fazlası 0’dan küçüktür" şeklindedir.

Hiçbir doğal sayının 1 fazlası 0’dan küçük olamayacağından, bu önermenin doğruluk değeri 0’dır.

P ≡ 0

Örnek:

P: "Her tam sayının karesi ile küpünün toplamı 0’dan büyüktür"

Önermesini, ∀ sembolünü kullanarak matematik dilinde ifade ediniz ve doğruluk değerini açıklayınız.

Çözüm:

P önermesinin matematik dilinde yazılmış biçimi,

P: "∀ x ϵ Z, x² + x³ > 0"

Şeklindedir. Önermenin doğruluk değerine bakalım.

x = -5 olsun.

(-5)² + (-5)³ = 25 – 125 = -100

Görüleceği üzere bu önerme 0 ve daha küçük tam sayılar için doğrulanamamaktadır. Doğruluk değeri 0’dır.

P ≡ 0

Örnek:

q: "bazı tam sayıların karesinin 10 eksiği 0’dan küçüktür"

önermesini matematik dili ile yazınız ve önermenin doğruluk değerini belirtiniz.

Çözüm:

q önermesinin matematiksel yazımı;

q: "Ǝ x ϵ Z, x² -10 <0"

x = 2 için 2² – 10 = 4 – 10 = -6 <0 dır.

Görüleceği üzere bazı tamsayılar için bu ifade doğrudur.

P ≡ 1 dir.

Açık Önermeler

Koşullu Önermeler

Önermeler Çözümlü Sorular

SANATSAL BİLGİ

25/09/2017