PARÇALI FONKSİYONLAR

Ygs, Lys ve 9. Sınıflar matematik konusu. Parçalı fonksiyonlar ve parçalı fonksiyonun grafiğini çizme. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.

Tanım kümesinin alt kümelerinde farklı kurallarla tanımlanan fonksiyonlara parçalı fonksiyon denir. Alt aralıkların bölündüğü noktalara, fonksiyonun kritik noktaları denir.

Parçalı fonksiyonlar iki veya daha fazla şekilde ifade edilen fonksiyonlardır. Bu fonksiyonlarda kritik noktalar dediğimiz sayıların belli değerlerden küçük, eşit veya büyük olmasına göre fonksiyon farklı cebirsel ifadeler şeklinde gösterilir.

Bu fonksiyonlarda istenen değerler bulunurken, bu değerlerin fonksiyonun bölündüğü noktalardan yani kritik noktalardan büyük, eşit veya küçük olup olmadığına bakılır. Kritik noktalardan hangisine uyuyorsa o noktada tanımlı fonksiyon seçilir ve seçilen fonksiyona bu değer verilir.

Aşağıdaki fonksiyon 6 ya eşit ve büyük değerler için farklı, 6 dan küçük değerler için farklı formdadır.

Yukarıdaki fonksiyon;

x < 6 için f(x) = x - 5

x ≥ 6 için f(x) = 2x + 5

Şeklinde tanımlanır. Fonksiyonun kritik noktası 6’dır. Burada fonksiyon x değişkeninin 6 ya eşit ve büyük olması ile 6’dan küçük olması durumuna göre ikiye ayrılmıştır.

Bu fonksiyonda 6 ya eşit ve 6 dan büyük değerleri hesaplarken 2x + 5 ifadesini, 6’dan küçük sayıları hesaplarken x – 5 ifadesini kullanırız.

Başka bir örnek.

f(x) = 

x < 1 için f(x) = 3x – 4

 1 ≤ x ≤ 10 için f(x) = x + 2

x > 10 için f(x) = 2x + 4

Fonksiyon 1 ve 10 noktalarından bölündüğünden, fonksiyonun kritik noktaları 1 ve 10 dur.

Yukarıda f(x) fonksiyonu 3 parçaya ayrılmıştır. Bu fonksiyonda herhangi bir sayının değerini bulurken bu kez 3 durumu göz önünde bulunduracağız.

1. durum, bu sayı 1 den küçük mü sorusuna yanıt arayacağız. Sayı 1 den küçükse en baştaki fonksiyonu kullanırız.

2. durum, Sayı 1’den büyükse bu kez 1 ve 10 aralığında mı diye bakarız. Eğer 1 ve 10 da dahil olmak üzere bu aralıkta ise bu kez kullanacağımız fonksiyon x + 2 fonksiyonu olacaktır.

3. olarak, sayımız [1, 10] aralığına da uymuyorsa 10’dan büyük bir sayıdır ve bu sayılar için 3. Fonksiyonu, yani 2x + 4 fonksiyonunu kullanacağız.

Örnek:

Yukarıda tanımlanan f(x) fonksiyonu için f(- 1) + f(0) + f(5) – f(11) toplamını bulunuz.

Çözüm:

f( - 1) fonksiyonunda x = -1 olduğundan;

f(x) = 2x + 3 fonksiyonunu kullanacağız.

f(-1) = 2. ( - 1) + 3

f( - 1) = - 2 + 3

f(- 1 ) = 1       (1)

x = 0 için f(x) = 3x + 1 olduğundan

f(x) = 3x + 1 fonksiyonunu kullanacağız.

f(0) = 3.0 + 1

f(0) = 1          (2)

f(5) = 3x + 1 olduğundan;

f(5) = 3.5 + 1

f(5) = 16         (3)

f(11) = x + 4 olduğundan

f(11) = 11 + 4

f(11) = 15       (4)

1, 2, 3 ve 4 ün toplamından

f(- 1) + f(0) + f(3) – f(11 = 1 + 1 + 16 - 15

f(- 1) + f(0) + f(3) – f(11 = 3

Örnek:  

Olduğuna göre;

Çözüm:

x = 4 için f(x) = x² - 3 olduğundan;

f(4) = 4² – 3

f(4) = 13    (1)

x< 1 için f(x) = 2x + 7 olduğundan;

f( - 2) = 2. (-2) + 7

f( - 2) = -4 + 7 = 3     (2)

f(2) = 2² – 3

f(2) = 1        (3)

f(- 3) = 2x + 7

f( - 3) = -6 + 7

f( - 3) =1      (4)

1 ve 2 den

f(4) + f( - 2) = 13 + 3 = 16

3 ve 4 ten

f(2) + f( - 3) = 1 + 1 = 2

Örnek:

Fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Çözüm:

Fonksiyonun kritik noktası 6’dır. Fonksiyon bu noktadan iki parçaya ayrılmıştır.

x ≥ 6 için f(x) = 2x + 6 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

y = 0 değeri vererek x değerini buluruz. Böylece eğrinin veya uzantısının x eksenini keseceği noktayı buluruz.

2x + 6= 0

2x = -6

x = - 3   (-3, 0)

x = 6 için 

Fonksiyonun ikiye ayrıldığı nokta bir grafiğin bitiş, diğerinin başlangıç noktasıdır.

y = 2.6 + 6

y = 18   (6, 18)

Bu fonksiyonun grafiğini çizelim

Yukarıda y = 2x + 6 fonksiyonunun grafiği üsttedir. Bu fonksiyon x ≥ 6 olduğu durumlarda geçerli olduğu için, fonksiyon grafiği x = 6 değerine karşılık gelen y değeri ile x = 6 değerlerinin kesişim noktasında başlar, pozitif yönde devam eder. Bu fonksiyonun uzantısı x = -3 noktasından geçer.

x< 6 olması durumunda f(x) = x – 5 olduğundan bu fonksiyonun grafiği çizilirken iki durum göz önünde bulundurulur.

x = 6 olması durumu, 

x = 6 ise, y = 6– 5 → y = 1   (6, 1) Bu nokta dahil edilmeden 2. grafik buradan başlayacak.

y = 0 ise, 0 = x – 5 → x = 5   (5, 0) Fonksiyonun x eksenini kestiği noktayı bulduk.

Fonksiyon grafiği, (6, 1) noktasından başlayacak fakat x < 6 olduğundan bu nokta dahil edilmeyecektir. Fonksiyon grafiği x eksenini (5, 0) noktasında kesecektir. Fonksiyonun y eksenini keseceği noktayı bulmak için x = 0 değeri verilir.

x = 0 ise y = -5 (0, -5)

Bileşke Fonksiyonlar

SANATSAL BİLGİ

29/11/2016