PARÇALI FONKSİYONLARIN LİMİTİ

Matematik dersi limit ve süreklilik konusu. Parçalı fonksiyonların sağdan ve soldan limitleri. Parçalı fonksiyonları limitlerinin olup olmadığını araştırma.

Tanım kümesinin alt kümelerinde farklı biçimlerde tanımlanan fonksiyonlara parçalı fonksiyon denir.

Parçalı fonksiyonlarda limit alınırken fonksiyonun kritik noktaları göz önünde bulundurulur. Bilindiği gibi fonksiyonun bölündüğü noktalara kritik noktalar deniyordu.

Örnek:

R → R f(x) fonksiyonu yukarıdaki gibi tanımlanmıştır.

x → 4 için f(x) fonksiyonunun limitini bulunuz.

Çözüm:

 Bu fonksiyonun limitini alırken her limitte olduğu gibi 4 sayısına sağdan ve soldan yaklaşarak limit alacağız.

4’ten büyük ve küçük sayılarda f(x) fonksiyonu farklı biçimlerde tanımlanmıştır.

 4 sayısına soldan yaklaşırken 3x + 8 fonksiyonunu, sağdan yaklaşırken 5x – 2 fonksiyonunu kullanacağız.

Önce sol limite bakalım. Burada fonksiyonumuz 3x + 8 dir.

lim_x→4- (3x + 8) = 3.4 + 8

lim_x→4- (3x + 8) = 20

Şimdi sağ limite bakalım. Burada fonksiyonumuz 5x – 2 dir.

lim_x→4+  (5x - 2) = 5.4 - 2

lim_x→4+  (5x - 2) = 18

Sağ ve sol limitler eşit olmadığından f(x) fonksiyonunun x → 4 için limiti yoktur.

Örnek:

R → R tanımlı

Fonksiyonu veriliyor.

Bu fonksiyonun x = 5 noktasındaki limitini bulunuz.

Çözüm:

Soldan limite bakalım. Sol taraftan yaklaşırken f(x) = 2x + 2 dir.

lim_x→5- (2x + 2) = 2.5 + 2

lim_x→5- (2x + 2) = 12

Soldan limit 12’dir. Sağdan limite bakalım. Sağ taraftan yaklaşırken f(x) = 4x – 8 dir. 

lim_x→5+ (4x - 8) = 4.5 - 8

lim_x→5+ (4x - 8) = 12

Sağ ve sol limitler eşit olduğundan f(x) fonksiyonunun x → 5 için limiti vardır.

lim_x→5  (4x - 8) = 12

Örnek:

R → R tanımlı

Fonksiyonu veriliyor.

x → 3 için f(x) fonksiyonunun limiti kaçtır?

Çözüm:

 Öncelikle soldan limitin kaç olduğuna bakalım. Soldan yaklaşırken f(x) = 3x – 2 dir.

lim_x→3- (3x - 2) = 3.3 - 2

lim_x→3- (3x - 2) =7

Şimdi sağdan limiti inceleyelim. Sağdan yaklaşırken f(x) = 6x – 11 dir.

lim_x→3+ (6x - 11) = 6.3 - 11

lim_x→3+ (6x - 11) = 7

x = 3 noktasında f(x) = 7

lim_x→3  (7) = 7

Sağ ve sol limitler birbirine eşit olduğundan x → 3 için f(x) fonksiyonunun limiti 7’dir.

Örnek:

R → R tanımlı

Fonksiyonu veriliyor.

x → 6 için fx) fonksiyonunun limiti kaçtır?

Çözüm:

Sol limitini inceleyelim. f(x) fonksiyonuna soldan yaklaşırken f(x) = x – 4 fonksiyonunu kullanacağız.

lim_x→6- (x - 4) = 6 - 4 = 2

Sağdan yaklaşırken f(x) = 2x + 8 olacaktır.

lim_x→6+ (2x + 8) = 2.6 + 8 = 20

Sağdan limit, soldan limite eşit olmadığından bu fonksiyonun limiti yoktur.

Örnek:

R → R tanımlı

Fonksiyonu veriliyor.

Bu fonksiyonun x = 2 noktasındaki limiti kaçtır?

Çözüm:

Sağdan limit;

lim_x→2+ (2x² + 2) = 2.2² + 2

lim_x→2+ (2x² + 2) = 10

Soldan limit;

Sağ ve sol limitler eşit olduğundan f(x) fonksiyonunun x → 2 için limiti 10’dur.

Örnek:

R → R tanımlı

Fonksiyonu veriliyor.

x → 6 için f(x) fonksiyonunun limitini bulunuz.

x = 6 noktasına sağdan ve soldan yaklaştığımızda

f(x) = 3x/2 + 7 fonksiyonunu kullanırız. Çünkü bu noktada kural değişikliği yoktur. 6 ≥ 2 olduğundan sağdan ve soldan yaklaşımda 2. fonksiyon geçerli olur.  

Sol limit;

Sağ limit,

Sağ ve sol limitler birbirine eşit olduğundan fonksiyonun limiti vardır ve 16’dır.

Limit ve Yaklaşma Kavramı

Limitler ve Grafik

SANATSAL BİLGİ

24/09/2017