PASCAL ÜÇGENİ

10. sınıflar ve ygs matematik konusu. Pascal üçgeni ve cebirsel ifadelerin açılımları. Pascal üçgeninde satırların oluşturulması. Pascal üçgeninden binom açılımlarının bulunması.

(x + y)ⁿ ifadesinin açılımındaki katsayılarla oluşturulan üçgene "Pascal Üçgeni" denir.

(x + y)⁰ = 1’dir. Bu üçgenin tepesinde yer alır. Buna 0. cı satır diyebiliriz.

(x + y)¹ = x + y dir. Bu ifadedeki x ve y terimlerinin katsayısı 1 dir. Bu iki tane 1, tepedeki 1 sayısı ile üçgen oluşturacak şekilde 1 sayısının altında yer alır. Bu satıra 1. satır diyelim.

   1

1     1

(x + y)²  = x² + 2xy + y² ifadesinin katsayıları 1, 2 ve 1’dir. Bu sayılar 2. satırda üzerindeki satırlarla beraber üçgen oluşturacak şekilde yazılır.

Bu eşitlikte başka bir bağlantı daha vardır. 2. satırdaki 2 sayısı üzerindeki satırda yer alan iki tane 1 sayısının toplamıdır.

(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ tür. Katsayıları 1, 3, 3 ve 1 dir. Bu katsayılar aynı üçgen yapısını bozmadan 3. Satıra yazılır.

3. satırımızdaki ilk 3 sayısı yukarısında yer alan satırdaki ilk iki sayının toplamı olurken 2'nci 3 sayısı, yeşil çerçeve içindeki 2 ve 1 sayılarının toplamı olmaktadır.

(x + y)⁴ = x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴ 

Bu katsayıları 4. Satıra yazalım

Pascal üçgeninin 4 satırındaki sayıların yerleşimi yukarıdaki kurala göre gerçekleşmektedir. Bu katsayılar aynı zamanda (x + y)⁴ ifadesinin katsayılarıdır. Ancak yukarıdaki şekilde kolayca bulunabilmektedir. 4. satırda kenarlardaki 1 sayıları dışındaki her sayı hemen üzerinde yer alan iki sayının toplamıdır. Elinizin altında bir Pascal Üçgeni tablosu bulunursa hemen yapılabilir, ayrıca Pascal Üçgenininin oluşturulması kolaydır. Hemen oluşturabilirsiniz.

5. satırın oluşturulmasıyla ilgili kural yukarıda verilmiştir. Bu satır (x + y)⁵ ifadesinin açılımının katsayılarıdır. 5. Satırda 1 dışındaki her sayı hemen üzerinde yer alan iki sayının toplamıdır.

Pascal üçgeninin 1’den 7’ye kadar satırlarının oluşturulması yukarıda verilmiştir.

(x + y)ⁿ ifadesinin açılımını yaparken ilk terimde x’in kuvveti n, y’nin kuvveti 0 olur. 1. Terimden sonra her terimde x’in kuvveti 1 azalırken y’nin kuvveti 1 artar ve son terimde x’in kuvveti 0 olurken y’nin kuvveti n olur. Bir sayının 0. Kuvveti 1’e eşit olduğundan ayrıca üssü 0 olan sayıyı gösterilmez.

Örnek:

x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴

Yukarıdaki açılımda x’in kuvveti 4 ile başlamış ve her terimde 1 azalmıştır. y’nin kuvvetleri ilk terimde 0’dır y⁰ =1 ve x⁴.y⁰ = x⁴ .1= x ‘tir. 2. terimde x’in kuvveti 1 azalarak 3 olurken y’nin kuvveti 1 olmuştur.3. terimde x’in kuvveti 2’ye düşerken y’nin kuvveti 2’ye yükselmiştir. Son terimde y’nin kuvveti 4 olurken x’in kuvveti 0’dır. Bu özellik tüm açılımlar için geçerlidir.

Örnek:

(x + 2)⁵ ifadesinin baştan 4. Teriminin katsayısı kaçtır?

Çözüm:

Pascal üçgenine bakarak 4. Terimi bulalım.

Baştan 4. Terimi 10’dur. O halde 4. Terimin katsayısı 10’dur.

Örnek:

(3x + 2y)⁴ ifadesinin baştan 3. Terimi kaçtır?

Çözüm:

(x + y)⁴  ifadesini pascal üçgenine bakarak açalım.

(x + y)⁴ = x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴

Bu ifadede baştan 3. terim 6x²y² terimidir. Bu ifadede x yerine 3x ve y yerine 2y yazalım.

6(3x)²(2y)² = 6.9x².4y² 

= 216x²y² olur.

Buna göre (3x + 2y)⁴ ifadesinin baştan 4. Teriminin katsayısı 216 dır.

Örnek:

(2x + 5)⁵ ifadesinin baştan 4. Teriminin katsayısı kaçtır?

Çözüm:

Pascal üçgenine bakarak (x + y)⁵ ifadesinin açılımını yapalım.

(x + y)⁵ = x⁵ + 5x⁴y + 10x³y² + 10x²y³ + 5xy⁴ + y⁵ olur.

Bu açılımı yaparken x’in kuvvetlerinin 5’ten başladığını ve her terimde x’in kuvveti bir azalırken y’nin kuvvetinin 1 arttığına ve son terimde x’in kuvvetinin 0 olurken y’nin kuvvetinin 5 olduğuna dikkat ediniz. Bu kural tüm açılımlarda geçerlidir. Bu özellikten ve Pascal üçgeninden yararlanarak tüm açılımları kolayca yapabilirsiniz.

(x + y)⁵ ifadesinin baştan 4. Terimi 10x²y³ terimidir. Bu terimde x yerine 2x, y yerine 5 yazalım.

10x²y³ = 10.(2x)² . (5)³

= 10.4x² . 125

= 5000x² olur.

SANATSAL BİLGİ

25/07/2017