PASCAL ÜÇGENİ

10. sınıflar ve ygs matematik konusu. Pascal üçgeni ve cebirsel ifadelerin açılımları. Pascal üçgeninde satırların oluşturulması. Pascal üçgeninden binom açılımlarının bulunması.


(x + y)n ifadesinin açılımındaki katsayılarla oluşturulan üçgene "Pascal Üçgeni" denir.

(x + y)0 = 1’dir. Bu üçgenin tepesinde yer alır. Buna 0. cı satır diyebiliriz.

(x + y)1 = x + y dir. Bu ifadedeki x ve y terimlerinin katsayısı 1 dir. Bu iki tane 1, tepedeki 1 sayısı ile üçgen oluşturacak şekilde 1 sayısının altında yer alır. Bu satıra 1. satır diyelim.

   1

1     1


(x + y)2  = x2 + 2xy + y2 ifadesinin katsayıları 1, 2 ve 1’dir. Bu sayılar 2. satırda üzerindeki satırlarla beraber üçgen oluşturacak şekilde yazılır.

Pascal_Ucgeni1


Bu eşitlikte başka bir bağlantı daha vardır. 2. satırdaki 2 sayısı üzerindeki satırda yer alan iki tane 1 sayısının toplamıdır.

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 tür. Katsayıları 1, 3, 3 ve 1 dir. Bu katsayılar aynı üçgen yapısını bozmadan 3. Satıra yazılır.

Pascal_Ucgeni2


3. satırımızdaki ilk 3 sayısı yukarısında yer alan satırdaki ilk iki sayının toplamı olurken 2'nci 3 sayısı, yeşil çerçeve içindeki 2 ve 1 sayılarının toplamı olmaktadır.

(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 

Bu katsayıları 4. Satıra yazalım

Pascal_Ucgeni3


Pascal üçgeninin 4 satırındaki sayıların yerleşimi yukarıdaki kurala göre gerçekleşmektedir. Bu katsayılar aynı zamanda (x + y)4 ifadesinin katsayılarıdır. Ancak yukarıdaki şekilde kolayca bulunabilmektedir. 4. satırda kenarlardaki 1 sayıları dışındaki her sayı hemen üzerinde yer alan iki sayının toplamıdır. Elinizin altında bir Pascal Üçgeni tablosu bulunursa hemen yapılabilir, ayrıca Pascal Üçgenininin oluşturulması kolaydır. Hemen oluşturabilirsiniz.

Pascal_Ucgeni4


5. satırın oluşturulmasıyla ilgili kural yukarıda verilmiştir. Bu satır (x + y)5 ifadesinin açılımının katsayılarıdır. 5. Satırda 1 dışındaki her sayı hemen üzerinde yer alan iki sayının toplamıdır.

Pascal_Ucgeni5


Pascal üçgeninin 1’den 7’ye kadar satırlarının oluşturulması yukarıda verilmiştir.

(x + y)n ifadesinin açılımını yaparken ilk terimde x’in kuvveti n, y’nin kuvveti 0 olur. 1. Terimden sonra her terimde x’in kuvveti 1 azalırken y’nin kuvveti 1 artar ve son terimde x’in kuvveti 0 olurken y’nin kuvveti n olur. Bir sayının 0. Kuvveti 1’e eşit olduğundan ayrıca üssü 0 olan sayıyı gösterilmez.



Örnek:

x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

Yukarıdaki açılımda x’in kuvveti 4 ile başlamış ve her terimde 1 azalmıştır. y’nin kuvvetleri ilk terimde 0’dır y0 =1 ve x4.y0 = x4 .1= x ‘tir. 2. terimde x’in kuvveti 1 azalarak 3 olurken y’nin kuvveti 1 olmuştur.3. terimde x’in kuvveti 2’ye düşerken y’nin kuvveti 2’ye yükselmiştir. Son terimde y’nin kuvveti 4 olurken x’in kuvveti 0’dır. Bu özellik tüm açılımlar için geçerlidir.

Örnek:

(x + 2)5 ifadesinin baştan 4. Teriminin katsayısı kaçtır?

Çözüm:

Pascal üçgenine bakarak 4. Terimi bulalım.

Baştan 4. Terimi 10’dur. O halde 4. Terimin katsayısı 10’dur.


Örnek:

(3x + 2y)4 ifadesinin baştan 3. Terimi kaçtır?


Çözüm:

(x + y)4  ifadesini pascal üçgenine bakarak açalım.

(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

Bu ifadede baştan 3. terim 6x2y2 terimidir. Bu ifadede x yerine 3x ve y yerine 2y yazalım.

6(3x)2(2y)2 = 6.9x2.4y2 

= 216x2y2 olur.

Buna göre (3x + 2y)4 ifadesinin baştan 4. Teriminin katsayısı 216 dır.


Örnek:

(2x + 5)5 ifadesinin baştan 4. Teriminin katsayısı kaçtır?


Çözüm:

Pascal üçgenine bakarak (x + y)5 ifadesinin açılımını yapalım.


(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5 olur.

Bu açılımı yaparken x’in kuvvetlerinin 5’ten başladığını ve her terimde x’in kuvveti bir azalırken y’nin kuvvetinin 1 arttığına ve son terimde x’in kuvvetinin 0 olurken y’nin kuvvetinin 5 olduğuna dikkat ediniz. Bu kural tüm açılımlarda geçerlidir. Bu özellikten ve Pascal üçgeninden yararlanarak tüm açılımları kolayca yapabilirsiniz.

(x + y)5 ifadesinin baştan 4. Terimi 10x2y3 terimidir. Bu terimde x yerine 2x, y yerine 5 yazalım.

 

10x2y3 = 10.(2x)2 . (5)3

= 10.4x2 . 125

= 5000x2 olur.




SANATSAL BİLGİ

25/07/2017

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI