POLİNOMLARDA BÖLME İŞLEMİ

10. Sınıf ve lys matematik polinomlar konusu. Polinomlarda bölme işleminin yapılışı. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.

İki polinom arasında bölme işlemi yapılırken bölünen polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden büyük olmalıdır. Bölen polinom 0’dan farklı olmalıdır.

Bir P(x) polinomunun Q(x) polinomuna bölünmesi

Yukarıdaki bölme işleminde P(x) = Q(x) . B(x) + K(x) tir.

1 - Bölen ve bölünen polinomların terimleri azalan kuvvetlerine göre sıralanır.

2 - Bölünen polinomun en büyük dereceli terimi, bölen polinomun en büyük dereceli terimine bölünür.

3 - Bulunan bölüm, bölen polinom ile çarpılarak elde edilen bölüm bölünen polinomdan çıkarılır.

4 - Bu işleme kalan polinomunun derecesi, bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir.

Örnek:

P(x) = 6x³ + 4x² – 3x + 8

Q(x) = 2x + 1

Polinomları veriliyor. P(x) : Q(x) işlemini yapınız.

Çözüm:

 1. Adım

6x³ terimi 2x terimine bölünür. Bölüm, bölüm kısmına yazılır. Bu terim bölen polinomun her terimi ile çarpılıp bölünen polinomun altına yazılarak çıkarma işlemi yapılır. Kalan polinomu yeni bölünen olarak 2. Adıma gider.

2. Adım

1. Adımdaki kalan polinomu bu adımda yeni bölünen polinom olur. Bu adımda 2x² terimi, 2x terimine bölünür. Bölüm terimi, bölüm kısmına yazılır ve bölen polinomunun her terimi ile çarpılarak bölünen polinomun altına yazılır ve çıkarma işlemi yapılır.

3. Adım

2. Adımdaki kalan polinomu bu adımda bölünen polinom olur. -4x terimi 2x terimine bölünür. Bölüm terimi, bölüm kısmına yazılır ve bölen polinomun her terimi ile çarpılarak bölünen polinomun altına yazılır ve çıkarma işlemi yapılır.

Kalan 0 olduğuna göre bölme işlemi tamamlanmış olur. Burada kalan 0 olmasa en fazla sabit bir sayı olabilirdi.

Örnek:

P(x) = 8x⁵ + 3x⁴ + 2x³ - 5x² + x - 16

Q(x) = x² + 1

Polinomları veriliyor. P(x) : Q(x) işlemini yapınız.

1. Adım

8x⁵  terimi x²  terimine bölünür. Bölüm, bölenin her terimiyle çarpılıp bölünen polinomun altına yazılır.

2. Adım

1. adımda kalan polinomu tekrar x² polinomuna bölünür, bölümün yeni terimi bölen polinomun her terimi ile çarpılarak bölünen polinomun altına yazılır.

3. Adım

Tekrar bir önceki adımdaki kalan polinomu x²  terimine bölünür. Önceki adımlar tekrarlanır.

4. Adım

3. adımdaki kalan polinomu bu adımda tekrar x² polinomuna bölünür. Elde edilen bölüm terimi bölüm kısmında yerine yazılır.  Bölen polinomun her terimi ile çarpılarak bölünen polinomun altına yazılır ve çıkarma işlemi yapılır.

Kalan polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden küçüktür. Tekrar bölünemez.

P(x) in Q(x) e bölümünden bölüm 8x³ + 3x² – 6x – 8 , kalan 7x – 8 dir.

İki Polinomun Bölümünden Elde Edilen Bölüm Polinomunun Derecesi

der[P(x)] = m

der[P(x)] = n ise

der[P(x)/Q(x)] = m – n dir.

Örnek:

der[P(x)] = 12

der[P(x)] = 9 ise

der[P(x):Q(x)] = 3 tür.

Örnek:

der[P(x) . Q(x)] = 11

der[P(x) : Q(x)] = 5

Olduğuna göre Q(x) polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm:

P(x) polinomunun derecesi m, Q(x) polinomunun derecesi n olsun.

der[P(x) . Q(x)] = m + n

der[P(x) : Q(x)] = m – n 

m + n = 11

m – n = 5

2m = 16 → m = 8

m + n = 11 → n = 3

der[Q(x)] = 3 bulunur.

Polinomlarda Toplama ve Çıkarma İşlemi

SANATSAL BİLGİ

13/03/2017