SAYMA VE SIRALI SEÇME

10. Sınıflar ve ygs matematik dersi. Sayma ve sıralı seçme konusu. Toplama ve çarpma yöntemi ile sayma. Birden fazla işlemin birlikte kaç yoldan yapıldığını bulma.



Toplama Yolu İle Sayma

Bu işlem, ayrık iki kümenin birleşiminin eleman sayısını toplama işlemi ile bulma yöntemidir.

Örneğin A ve B kümeleri sonlu ve ayrık iki küme olsun. A ve B kümelerinin birleşimini

s(A U B) şeklinde göstermeye "toplama yolu ile sayma" denir.

Örnek;

s(A) = 9

s(B) = 12 ise

s(AUB) = s(A) + s(B) = 9 + 12 = 21

Bu yöntem toplama yolu ile sayma yöntemidir.


Örneğin;

Bir grupta İngilizce bilenlerin sayısı 19, Fransızca bilenlerin sayısı 11, Almanca bilenlerin sayısı 9 ise bu grubun toplamı;

İ + F + A = 19 + 11 + 9

= 39 olur. Bu yöntem toplama yolu ile saymaya örnektir.

Çarpma Yolu İle Sayma

Birden fazla kümeden sırasıyla birer eleman seçilerek oluşturulabilecek kümelerin sayısı bu iki kümenin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Bir işlemin gerçekleşme yollarının sayısı x, 2. işlemin gerçekleşme yollarının sayısı y ise bu iki işlemin birlikte gerçekleşme yollarının sayısı x.y dir. Bu işleme "çarpma yöntemi ile sayma" denir. Burada işlem sayısı sınırsızdır.

Örnek:

Bir yolcu A kentinden B kentine uçak, otobüs veya trenle gidebilmektedir. B kentinden C kentine otobüs veya trenle gidebilmektedir. Bu yolcu B kentine uğramak kaydıyla C kentine kaç farklı ulaşım yolu ile gidebilir.

Çözüm:

Yolcu A kentinden B kentine gitmek için uçak, otobüs ve tren olmak üzere 3 farklı tercih yapabilir. Bu 3 tercihten birini yaptıktan sonra B şehrine gelir. B şehrinden C şehrine gitmek için 2 farklı seçeneği bulunuyor. Dolayısıyla A şehrinden C şehrine 2.3 = 6 farklı ulaşım yolu ile gidebilir.

Bu ihtimaller aşağıda listelenmiştir.

1. Yol > A kentinden B kentine uçak ile B kentinden C kentine otobüs ile gider

2. Yol > A kentinden B kentine otobüs ile B kentinden C kentine otobüs ile gider

3. Yol > A kentinden B kentine tren ile B kentinden C kentine otobüs ile gider

4. Yol > A kentinden B kentine uçak ile B kentinden C kentine tren ile gider

5. Yol > A kentinden B kentine otobüs ile B kentinden C kentine tren ile gider

6. Yol > A kentinden B kentine tren ile B kentinden C kentine tren ile gider


Yukarıda listelenen seçeneklerden görüleceği üzere A kentinden C kentine 6 farklı biçimde gidilebilmektedir.

Bu işlem kısa yoldan 3.2 = 6 çarpma işlemiyle bulunabilir.

Bu şekilde seçme sayılarının bulunması işlemine çarpma yolu ile sayma denilmektedir.



Örnek:

Ayla’nın elinde aksiyon, drama ve komedi filmleri ile roman, şiir ve tarih kitapları vardır. Aylin haftasonunda bir film izlemeye ve 1 de kitap okumaya karar veriyor.

Ayla bir film ve bir kitabı birlikte kaç yoldan seçebilir?

Çözüm:

Ayla bir filmi 3 farklı biçimde, bir kitabı 3 farklı biçimde seçebilir. İkisini birlikte 3.3 = 9 farklı biçimde seçebilir.

Bu yollar aşağıda listelenmiştir.

1. Yol > Film olarak aksiyon filmi, kitap olarak tarih kitabı

2. Yol > Film olarak aksiyon filmi, kitap olarak şiir kitabı

3. Yol > Film olarak aksiyon filmi, kitap olarak roman kitabı

4. Yol > Film olarak komedi filmi, kitap olarak tarih kitabı

5. Yol > Film olarak komedi filmi, kitap olarak şiir kitabı

6. Yol > Film olarak komedi filmi, kitap olarak roman kitabı

7. Yol > Film olarak drama filmi, kitap olarak tarih kitabı

8. Yol > Film olarak drama filmi, kitap olarak şiir kitabı

9. Yol > Film olarak drama filmi, kitap olarak roman kitabı


Örnek:

A = {a, b, c, d, e) kümesinin elemanları birer kez kullanmak kaydıyla yan yana kaç farklı şekilde yazılabilir?


Çözüm:

A kümesinin eleman sayısı 5’tir. Bu elemanları oluşturan harfleri birer kez kullanmak kaydıyla yan yana kaç farklı biçimde yazacağımıza bakalım.

1- > 1. sırada a, b, c, d, e harflerinden her hangi birini seçebiliriz. Dolayısıyla 5 farklı seçenek mevcut.

2- > 1. sıradaki harfi seçtikten sonra geriye 4 harf kalacaktır. 2. Sıradaki elemanı bu 4 harf arasından seçeceğiz. 4 seçeneğimiz var.

3- > 2. sıradaki harfi de seçtikten sonra geriye 3 harf kalır. 3. Sıradaki eleman için 3 farklı seçeneğimiz mevcut.

4- > 4. sıradaki eleman için 2 seçeneğimiz kalacaktır.

1- > 5. Sıradaki eleman için 1 seçeneğimiz kalacaktır. 

Bunların hepsini birden;

5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 farklı şekilde yazabiliriz.

Örnek olarak ilk harfi a seçersek sonraki 4 harf için yukarıdaki 2, 3, 4 ve 5. Maddeler tekrarlanacaktır.


Örnek:

120 kişinin katıldığı bir sınavda ilk üç sıra kaç farklı biçimde oluşabilir?


Çözüm:

1. sırada 120 kişiden biri olacaktır. Dolayısıyla 1. Sıra için 120 ihtimalimiz var.

2. sıra 1. Sıra belli olduktan sonra belirlenecektir. Bunun için kalan 119 kişiden biri söz konusudur.

3. sıra 1. Ve 2. Sıralar belli olduktan sonra belirlenecektir. 3. Sıra için 118 farklı durum sözkonusudur.

Bu 3 ihtimali birleştirirsek;

120 . 119 . 118 = 1685040 farklı seçenek sözkonusudur.


Örnek:

8, 4, 1, 6, 5 rakamları birer kez kullanılarak 50000 den büyük kaç tane sayı yazılabilir?


Çözüm:

R1, R2, R3, R4 ve R5 rakamları göstermek üzere 5 basamaklı sayıyı

R1R2R3R4R5

Şeklinde yazabiliriz.

Sayının 50 000 den büyük olması için ilk rakam 5, 6 veya 8 olmalıdır. Dolayısıyla 3 farklı seçeneğimiz var.

1. rakam belirlendikten sonra 2. Rakam 4 farklı biçimde, 2. Rakamı belirledikten sonra 3. Rakam 3 farklı biçimde, 4. Rakam 2 farklı biçimde ve 5. Rakam 1 farklı biçimde yazılabilir. Hepsi birlikte;

3 . 4 . 3 . 2 . 1

= 72 farklı biçimde yazılabilir.


Örnek:

2, 5, 7, 6, 9 rakamlarını birer kez kullanarak 60000’den küçük kaç farklı çift sayı yazılabilir?


Çözüm:

a, b, c, d ve e rakamları göstermek üzere 5 basamaklı sayıyı

abcde

Şeklinde yazabiliriz.

Sayının 60 000 den küçük olması için a, 2 ve 5 rakamlarından biri olmalıdır. Dolayısıyla 2 seçeneğimiz var.

Bu sayının son basamağı ilk basamak belirlendikten sonra kalan 4 rakam arasından seçilir. Bu rakamlar 2 ve 6 rakamlarından biri olacaktır. Yine 2 seçeneğimiz var ama a = 2 olursa seçeneğimiz tek olur (6 rakamı). İlk 2 rakam belirlenince geriye 3 rakam kalacaktır. Aradaki 3 rakam bu 3 rakam arasından seçilecektir.

a = 2 için;

1.3.2.1.1 = 6 farklı biçimde yazılabilir. (2bcde)

a = 5 için;

e 2 farklı biçimde yazılabilir. a ve e belirlendiği için geriye 3 rakam kalır.

1.3.2.1.2 = 12 farklı biçimde yazılabilir.

Bunları toplarsak 6 + 12 = 18 farklı biçimde yazılabilir.


Permütasyon Konu Anlatımı

Kombinasyon Konu Anlatımı



SANATSAL BİLGİ

24/07/2017

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
  • YGS - LYS KONULARI
  • 8. SINIF
  • 7. SINIF
  • 6. SINIF
  • BİLGİSAYAR - ELEKTRİK
  • GENEL MATEMATİK
  • BİRİM ÇEVİRİCİLER
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI